動態規劃系列之九找零錢

問題

給定不一樣面額的硬幣 coins 和一個總金額 amount。編寫一個函數來計算能夠湊成總金額所需的最少的硬幣個數。若是沒有任何一種硬幣組合能組成總金額，返回 -1。
你能夠認爲每種硬幣的數量是無限的。

coins = [1,2,5]
amount = 11
結果：3，硬幣爲：5，5，1

解決過程

解題思路

動態規劃解題思路是：將大的問題拆解成小一點問題，小問題和大問題的解決思路是相似的
給定一個總金額11，有三種硬幣：1,2,5。
將問題的規模減小：湊11難湊，就湊10，若是10難湊就湊9，一直到湊1，湊0。

創建數學模型

添加數組dp，表示湊到某一個數值的最小硬幣數。如dp[1]就表明金額爲1的最少硬幣數，dp[10]就表明金額爲10的最少硬幣數。該dp數組長度爲12，從金額爲0到11，初始化爲：

[12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12]

之因此初始化爲12，是總金額+1，由於可能會存在湊不到這個數的狀況。當湊不到時，dp[-1]=12，湊獲得時，即便硬幣金額最小爲1，也只用11便可。

狀態轉移方程

當要湊成的金額爲0時：

dp = [0,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12]

金額爲1時：
因爲硬幣有 一、二、5，因此，金額大於硬幣1的數額，因此一塊硬幣價值爲1便可

dp = [0,1,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12]

金額爲2時：
金額爲2是，金額大於硬幣1，硬幣2，因此有兩種方案能夠湊齊。
一、某一個金額加上硬幣2，那麼就是金額0 + 硬幣2 dp[0] = 0，因此dp[2] = 1
二、某一個金額加上硬幣1，那麼就是金額1 + 硬幣1 dp[1] = 1，因此dp[2] = dp[1] + 1 = 2

選擇最小的，因此dp[2] = 1

dp = [0,1,1,12,12,12,12,12,12,12,12,12]

金額爲3時：
金額大於硬幣1，硬幣2，因此有兩種方案
某一個金額加上硬幣2，就是 金額1 + 硬幣2 dp[3-2] + 1。dp[3-2]，意思就是金額3減去硬幣2，獲得的金額1其最小的組成硬幣數。dp[3] = dp[3-1] + 1 = 2

某一個金額加上硬幣1，就是 金額2 + 硬幣1 dp[3-1] + 2。dp[3-1],意思就是 金額3 - 硬幣1，獲得的金額其最小組成的硬幣數。dp[3] = dp[3-2] + 1 = 2
因此，金額3時，dp[3] = 2

dp = [0,1,1,2,12,12,12,12,12,12,12,12]

金額爲4時：
金額大於硬幣1，硬幣2，因此有兩種方案
金額爲2 + 硬幣2，即 dp[4-2] + 1,dp[4] = 2
金額爲3 + 硬幣1，即 dp[4-1] + 1,dp[4] = 3
因此，金額爲4時，dp[4] = 2

dp = [0,1,1,2,2,12,12,12,12,12,12,12]

金額爲5時：
金額大於硬幣1，硬幣2，硬幣5，因此有三種方案
金額爲4 + 硬幣1，即 dp[5-1] + 1,dp[5] = 2 + 1 = 3
金額爲3 + 硬幣2，即 dp[5-2] + 1,dp[5] = 2 + 1 = 3
金額爲0 + 硬幣5，即 dp[5-5] + 1,dp[5] = 1
因此，dp[5] = 1

dp = [0,1,1,2,2,5,12,12,12,12,12,12]

最終按照這個規律，算出dp全部的數值。

代碼

示例 1：
輸入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
輸出：3 
解釋：11 = 5 + 5 + 1

def coinChange(coins, amount):
    # 構建dp動態數組
    dp = [amount + 1] * (amount + 1)
    # 初始化
    dp[0] = 0
    
    for i in range(1, amount + 1):
        # 每個金額，全部能湊成的方案的硬幣數，最後取最小值
        temp = [dp[i]]
        for coin in coins:
            # 當金額大於某一個硬幣時才考慮，不然必定沒法用大額硬幣湊成小額
            if i >= coin:
                temp.append(dp[i-coin]+1)
        dp[i] = min(temp)
    print(dp)
    return -1 if dp[-1] == amount + 1 else dp[-1]

coins = [1, 2, 5]
amount = 11
res = coinChange(coins, amount)
print(res)

小結

動態規劃系列到這一篇就算完結了，我的感受動態規劃是算法中頗有難度，有技巧，有魅力的一種算法。爲了學明白這一種算法，我也不少次在深夜裏思考求解。當我以爲本身彷佛掌握了淺顯的規律以後，就把它記錄下來。這固然是我我的不太成熟的思想，動態規劃的深奧遠不是我能用9篇文章說明白的。可是，但願讀者能從這9篇文章學到一點個人經驗，摸到解決動態規劃問題的門檻。最後用我最喜歡的宮崎駿的動漫大集合做爲本篇的封面。