漫畫：什麼是動態規劃？

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題目：

有一座高度是10級臺階的樓梯，從下往上走，每跨一步只能向上1級或者2級臺階。要求用程序來求出一共有多少種走法。

好比，每次走1級臺階，一共走10步，這是其中一種走法。咱們能夠簡寫成 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1。

再好比，每次走2級臺階，一共走5步，這是另外一種走法。咱們能夠簡寫成 2,2,2,2,2。

固然，除此以外，還有不少不少種走法。

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第一種狀況：

第二種狀況：

把思路畫出來，就是這樣子：

F(1) = 1;

F(2) = 2;

F(n) = F(n-1)+F(n-2)（n>=3）

方法一：遞歸求解

因爲代碼比較簡單，這裏就不作過多解釋了。

如圖所示，相同的顏色表明了方法被傳入相同的參數。

方法二：備忘錄算法

在以上代碼中，集合map是一個備忘錄。當每次須要計算F(N)的時候，會首先從map中尋找匹配元素。若是map中存在，就直接返回結果，若是map中不存在，就計算出結果，存入備忘錄中。

方法三：動態規劃求解

程序從 i=3 開始迭代，一直到 i=n 結束。每一次迭代，都會計算出多一級臺階的走法數量。迭代過程當中只需保留兩個臨時變量a和b，分別表明了上一次和上上次迭代的結果。 爲了便於理解，我引入了temp變量。temp表明了當前迭代的結果值。

題目二： 國王和金礦

有一個國家發現了5座金礦，每座金礦的黃金儲量不一樣，須要參與挖掘的工人數也不一樣。參與挖礦工人的總數是10人。每座金礦要麼全挖，要麼不挖，不能派出一半人挖取一半金礦。要求用程序求解出，要想獲得儘量多的黃金，應該選擇挖取哪幾座金礦？

方法一：排列組合

每一座金礦都有挖與不挖兩種選擇，若是有N座金礦，排列組合起來就有2^N種選擇。對全部可能性作遍歷，排除那些使用工人數超過10的選擇，在剩下的選擇裏找出得到金幣數最多的選擇。

代碼比較簡單就不展現了，時間複雜度也很明顯，就是O(2^N)。

F(n,w) = 0 (n<=1, w<p[0]);

F(n,w) = g[0] (n==1, w>=p[0]);

F(n,w) = F(n-1,w) (n>1, w<p[n-1])

F(n,w) = max(F(n-1,w), F(n-1,w-p[n-1])+g[n-1]) (n>1, w>=p[n-1])

其中第三條是補充上去的，緣由不難理解。

方法二：簡單遞歸

把狀態轉移方程式翻譯成遞歸程序，遞歸的結束的條件就是方程式當中的邊界。由於每一個狀態有兩個最優子結構，因此遞歸的執行流程相似於一顆高度爲N的二叉樹。

方法的時間複雜度是O(2^N)。

方法三：備忘錄算法

在簡單遞歸的基礎上增長一個HashMap備忘錄，用來存儲中間結果。HashMap的Key是一個包含金礦數N和工人數W的對象，Value是最優選擇得到的黃金數。

方法的時間複雜度和空間複雜度相同，都等同於備忘錄中不一樣Key的數量。

方法四：動態規劃

方法利用兩層迭代，來逐步推導出最終結果。在外層的每一次迭代，也就是對錶格每一行的迭代過程當中，都會保留上一行的結果數組 preResults，並循環計算當前行的結果數組results。

方法的時間複雜度是 O(n * w)，空間複雜度是(w)。須要注意的是，當金礦只有5座的時候，動態規劃的性能優點尚未體現出來。當金礦有10座，甚至更多的時候，動態規劃就明顯具有了優點。

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