【牛客小白月賽21】NC201604 Audio

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題目大意：

給出三點 ，求到三點距離相等的點 的座標。

解析

考點：計算幾何基礎。

初中蒟蒻表示不會什麼法向量、高斯消元。。qwq

方法一：

根據兩點間距離公式：

由D到A，B距離相等得（任選兩點便可）

兩邊同時去根號，消去X^2,Y^2得

由D到A，C距離相等得

代入Y，得

爲了代碼美觀，防止出錯，咱們用A1，B1，C1等表示上面的係數和常數項

A1=2*(x2-x1),B1=2*(y2-y1),C1=x2*x2+y2*y2-x1*x1-y1*y1;
A2=2*(x3-x1),B2=2*(y3-y1),C2=x3*x3+y3*y3-x1*x1-y1*y1;

則

便可解得X

#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
    double x1,x2,x3,y1,y2,y3,X,Y;
    double A1,B1,C1,A2,B2,C2;
    scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&x1,&y1,&x2,&y2,&x3,&y3);
    
    A1=2*(x2-x1),B1=2*(y2-y1),C1=x2*x2+y2*y2-x1*x1-y1*y1;
    A2=2*(x3-x1),B2=2*(y3-y1),C2=x3*x3+y3*y3-x1*x1-y1*y1;
    
    X=(C2-B2*C1/B1)/(A2-B2*A1/B1);
    Y=(C1-A1*X)/B1;
    
    printf("%.3lf %.3lf",X,Y);
}

方法二：

由平方反比定律，發現響度相同時只與距離有關，因此咱們只須要求一點，使得該點到三角形三個頂點距離相同，即求三角形的外心（三邊中垂線交點）。

線段中垂線解析式公式

推導：

給定一線段y=kx+b（一端座標爲(x1,y1),另外一端座標爲（x2,y2)）,求其垂直平分線的函數解析式
設其中垂線爲f=k1x+c
∵f⊥y
∴k1*k=-1,即k1=-1/k（注：若兩直線互相垂直，則k1*k2=-1）
∴f=-1/k*x+c,即f=-x/k+c;

把點（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）代入f=-x/k+c中
得(y1+y2)/2=-((x1+x2)/2)/k+c
化簡得c=(y1+y2)/2+(x1+x2)/2k

∴f=-x/k+c代入c即得
f=-x/k+(x1+x2)/2k+(y1+y2)/2

代入k=（y1-y2）/（x1-x2）即得中垂線解析式
（設通過（x1,y1），（x2,y2）兩點的解析式爲y=kx+b，則由y1=kx1+b，y2=kx2+b兩式相減可得k）

聯立任意兩邊的垂直平分線，求垂直平分線的交點便可。

#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
    double x1,x2,x3,y1,y2,y3,X,Y,k;
    double k1,b1,k2,b2;//兩中垂線解析式中的k，b 
    scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&x1,&y1,&x2,&y2,&x3,&y3);
    
    k=(y1-y2)/(x1-x2);
    k1=-1/k,b1=(x1+x2)/2/k+(y1+y2)/2;
    
    k=(y1-y3)/(x1-x3);
    k2=-1/k,b2=(x1+x3)/2/k+(y1+y3)/2;//求兩中垂線解析式
    
    X=(b2-b1)/(k1-k2);
    Y=k1*X+b1;//聯立兩中垂線解析式求交點 
    printf("%.3lf %.3lf",X,Y);
}