算法研討會-含有回溯的遞歸算法設計探討

目錄

• 含有回溯的遞歸程序設計
  • 目錄
  • 回溯
    • 1.1 概念
    • 1.2 基本思路
    • 1.3 問題舉例
    • 1.4 算法設計
    • 1.5 PTA編程題

含有回溯的遞歸程序設計

目錄

回溯

1.1 概念

• 遞歸是一種算法結構、技巧，而回溯是一種算法思想。
• 本質上是一種枚舉思想，採用深度優先策略來枚舉全部可能解，而且服從必定的擇優條件。
• 遵循設定好的擇優條件不斷深刻試探，最終達到目標，可是在試探過程當中，若發現當前狀況不是最優或者必定沒法達到目標時，將返回到上一個狀態，對上一個狀態進行從新選擇後，繼續深刻試探。

1.2 基本思路

從一條路往前走，能進則進，不能進則退回到最近的岔路，換一條路再試。

1.3 問題舉例

1.3.1 N皇后問題

• 要求

在N × N的棋盤上放置N個皇后，這些皇后之間不能相互攻擊。（合法位置）

• 思路（不考慮優化）
  • 遞歸：繼續深刻試探下一行的每一列。
  • 遞歸邊界：N個皇后所有擺放完成。
  • 回溯條件：當前皇后已經不存在合法位置（越界）。
  • 具體思路：
    1. 若是可以將前面全部的皇后放置在合法位置，那麼就繼續試探下一個皇后，從第1個皇后開始依次類推。
    2. 若是第k個皇后已經不存在合法位置（越界），那麼判斷第k-1個皇后是否還存在其餘合法位置，若存在，則移動到下一個合法位置，從新試探第k個皇后；若不存在，則重複步驟2。
    3. 第N個皇后同理，只是在第N個皇后放置在合法位置後，到達了遞歸邊界，須要輸出可行解，而後重複步驟2。
• 回溯過程圖解

（圖片轉自博客園，目前未通過做者贊成，若有侵權，將當即刪除！）

• 核心代碼

void Put_The_Queen_On_The_NOk_Row_And_The_NOj_column(int k, int n) {//須要擺放n個皇后，當前擺放到了第k行。
    int j;
    if(k > n)//發現可行解
        print(n); //輸出可行解
    else {
         for(j = 1;j <= n;j++) {//試探這一行的每一列
            if(Find_The_Valid_Pos(k, j)) {//判斷該位置是否合法
                q[k] = j;   //保存位置
                Put_The_Queen_On_The_NOk_Row_And_The_NOj_column(k + 1, n);  //繼續試探下一行
            }
        }
    }
}

1.4 算法設計

1. 清楚遞歸邊界（何時中止遞歸）
2. 清楚遞歸函數的功能（參數的功能、返回值的功能）
3. 回溯算法設計基本思路
   1. 只要當前層還存在合法選項，那麼就在保證當前層合法的前提下，進入試探下一層。
   2. 若是當前層已經不存在合法選項，那麼就回溯到上一層，並重復判斷1./2.。
   3. 若是發現可行解，那麼重複判斷1./2.。

1.5 PTA編程題

1.5.1 整數分解爲若干項之和

• 要求

將一個正整數N分解成幾個正整數相加，能夠有多種分解方法，例如7=6+1，7=5+2，7=5+1+1，…。編程求出正整數N的全部整數分解式子。

• 思路

  • 遞歸：
  • 遞歸邊界：當前result（填入的全部數之和）與N（目標值）相等
  • 回溯條件：當前result（填入的全部數之和）與N（目標值）相等（在此以後不可能再出現可行解，繼續試探沒有意義）。
  • 具體思路：
    1. 每個位置的值，均從1開始試探。
  1. 若是當前的result（已經填入的全部數之和）仍小於N（輸入的目標值），那麼就使 第n個數 從 上一個數的數值 往上 試探。
     1. 若是當前result與N相等，到達遞歸邊界，輸出可行解，而且回溯到上一個狀態（此時只有n-2個數），繼續使第n-1個數自加，並判斷result與N的關係。
     2. 依次類推，直到遍歷全部可行解。

• 核心代碼

void Division(int x, int pos, int result){
    static int counter, array[32];
    if(result != N) {
        for (int i = x; result + i - 1 < N; i++) {
            array[pos] = i;
            Division(i, pos + 1, result + i);
        }
    }
    else{
        counter++;
        std::cout << N << '=';
        for (int i = 0; i < pos - 1; i++)
            std::cout << array[i] << '+';
        if (counter % 4 == 0 || array[pos - 1] == N)
            std::cout << array[pos - 1] << std::endl;
        else
            std::cout << array[pos - 1] << ';';
    }
}

1.5.2 輸出全排列

• 要求

  • 輸出前n個正整數的全排列（n<10）。
  • 排列的輸出順序爲字典序，即序列a1,a2,⋯,an排在序列b1,b2,⋯,bn以前，若是存在k使得a1=b1,⋯,ak=bk 而且 ak+1<bk+1。

• 思路

  • 這題與N皇后問題更加相似，並且運行流程更加簡單。由於回溯只會出如今發現可行解以後，即試探直到發現可行解的過程不會被回溯打斷。
  • 遞歸：試探下一位的數字，而且判斷擬填入的數字是否被用過
  • 遞歸邊界：全排列數的長度與N（目標值）相等。
  • 回溯條件：擬填入的數字已經所有被使用過了。
  • 具體思路（「合法」即當前層待填入的數字還未被使用過 ）
    1. 只要當前層還存在合法選項，那麼就在保證當前層合法的前提下，進入試探下一層。
    2. 若是當前層已經不存在合法選項，那麼就回溯到上一層，並重復判斷1./2.。
    3. 若是發現可行解，那麼就重複判斷1./2.。

• 注意

  輸入的目標值與全排列數的位數始終是一致的。

• 核心代碼

/*全局變量*/
int whole_array[32]; // 存儲當前的全排列數
int sub[32]; //記錄每個數字是否被用過
int N; //目標值

/*遞歸函數*/
void Perm (int x){
    static int length = 0; //當前全排列的長度
    if(N <= x - 1){ //判斷全排列樹的長度是否等於目標值
        for(int i = 1;i <= N;i++) //輸出
            printf("%d",whole_array[i]);    
        printf("\n");
    }
    else //只要全排列數的長度小於目標值
        for(int i = 1;i <= N;i++) //因爲要輸出字典序，每個位置從1開始試探
            if(sub[i] == 0){ //判斷這個數是否被用過
                whole_array[x] = i; //將這個數
                sub[i] = 1; //填入以後將這個數標記爲1，即在該全排列數中已經出現
                Perm(x + 1); //到下一個位置繼續試探
                sub[i] = 0; //若是發生回溯，那麼須要從新將這個數字標記爲沒有出現過
            }
}

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